Finding an Ordinary Conic and an Ordinary Hyperplane

Given a nite set of non-collinear points in the plane there exists a line that passes through exactly two points. Such a line is called an ordinary line. An e cient algorithm for computing such a line was proposed by Mukhopadhyay et al [MAH97]. In this note we extend this result in two directions. We rst show how to use this algorithm to compute an ordinary conic, that is, a conic passing through exactly ve points, assuming that all the points do not lie on the same conic. Our proof of existence and the consequent algorithm is simpler than previous ones. We also show how to compute an ordinary hyperplane in three and higher dimensions. Key-words: computational geometry. Asish Mukhopadhyay is from Indian Institute of Technology,Kanpur 208016, India. His work was done in part while he was visiting INRIA. Recherche d'une conique ordinaire et d'un hyperplan ordinaire Résumé : Étant donné un ensemble de points non alignés dans le plan, il existe une droite passant par exactement deux de ces points. Une telle droite est appelée droite ordinaire. Une méthode e cace de détermination d'une telle droite a été proposée par Mukhopadhyay et al. Nous étendons ce travail dans deux directions. Nous utilisons cet algorithme pour déterminer une conique ordinaire, c'est-à-dire une conique passant par exactement cinq points, si les points ne sont pas tous sur une même conique. Notre preuve d'existence et notre algorithme sont sensiblement plus simple que les travaux précédents. Nous montrons également comment déterminer une hyperplan ordinaire en trois dimensions et plus. Mots-clés : géométrie algorithmique. Finding ordinary conic or hyperplane 3